On souhaite installer des armoires dans une pièce.

La hauteur de la pièce est de 2,4 m. La porte pour y accéder mesure 2,04 m de haut et 90 cm de large.

Pour cela nous disposons de 4 armoires qui ont la forme d'un pavé droit et dont les dimensions sont :

• armoire n°1 : L₁ = 1,2 m ; l₁ = 0,85 m ; h₁ = 2,3 m ;
• armoire n°2 : L₂ = 2 m ; l₂ = 0,8 m ; h₂ = 1,9 m ;
• armoire n°3 : L₃ = 1,5 m ; l₃ = 1 m ; h₃ = 1,9 m ;
• armoire n°4 : L₄ = 1 m ; l₄ = 0,8 m ; h₄ = 2,1 m .

Le but de cet exercice est de déterminer lesquelles de ces armoires pourront être installées dans la pièce.

Faire entrer l'armoire Forcer Plus haut Réduire la hauteur de l'armoire

1. Donner le numéro de la ou des armoire(s) qui ne passent pas à travers la porte.
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90 cm = 0,9 m
La porte mesure 2,04 m de haut et 0,9 m de large.
Pour que l'armoire passe à travers, il faut qu'au moins deux de ses cotes soient plus petites que les dimensions de la porte.
Les armoires n^o1, 2 et 4 peuvent donc passer à travers la porte.


2. Dire si les armoires qui passent à travers la porte et qui ont une hauteur inférieure à 2,4 m peuvent forcément être installées dans la pièce. Justifier la réponse.
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Suivant ses dimensions, l'armoire peut toucher le plafond lorsqu'on la redresse même si elle est moins haute que la pièce.


3. Donner la condition pour qu'une armoire couchée dans la pièce puisse être redressée.
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Afin de pouvoir redresser une armoire, il faut que la longueur des diagonales des plus petits côtés verticaux soit inférieure à 2,4 m.


4. Calculer la longueur des diagonales qui nous intéressent. Arrondir au cm.
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Armoire n° 1 :

Le triangle ABD est rectangle en A donc d'après le théorème de Pythagore :
\(BD^2 = AB^2 + AD^2\)
\(BD^2 = 0,85^2 + 2,3^2\)
\(BD^2 = 6,0125\)
\(BD = \sqrt(6,0125)\)
\(BD \simeq 2,45 \; m\)

Armoire n° 4 :

Le triangle EFG est rectangle en E donc d'après le théorème de Pythagore :
\(FH^2 = EF^2 + EH^2\)
\(FH^2 = 0,8^2 + 2,1^2\)
\(FH^2 = 5,05\)
\(FH = \sqrt(5,05)\)
\(FH \simeq 2,25 \; m\)


5. Donner le numéro des armoires qui peuvent être installées dans la salle.
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On pourra donc installer les armoires n°2 et 4.


6. Question complémentaire : on souhaite ranger dans ces armoires 4 m³ de documents. Vérifier si l'on peut potentiellement ranger ces documents dans les armoires installées dans la pièce.
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Volume de l'armoire n°2 :
\(\mathcal{V}_2 = L_2 \times l_2 \times h_2 = 2 \times 0,8 \times 1,9 = 3,04 \;m^3\)

Volume de l'armoire n°4 :
\(\mathcal{V}_4 = L_4 \times l_4 \times h_4 = 1 \times 0,8 \times 2,1 = 1,68 \;m^3\)

Volume total : \(\mathcal{V}_t = \mathcal{V}_2 + \mathcal{V}_4 = 3,04 + 1,68 = 4,75 \; m^3\)

Le volume total étant supérieur à 4 m³, on peut potentiellement ranger tous les documents.