Dans l'ensemble de l'activité on considérera la figure suivante, où :

• ABCD est un carré ;
• \(a = DE = AF = BG = CH\) ;
• \(b = EA = FB = GC = HD\) ;
• \(c = EF = FG = GH = HE.\)

Par réarrangement des triangles

1. Reproduire cette figure avec AB = 10 cm et a = 3 cm, en prenant soin de colorer les triangles.


2. Que peut-on dire des triangles AFE, FBG, GCH et HDE ?
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Les triangles AFE, FBG, GCH et HDE sont égaux car ils sont superposables.


3. Donner la nature de ces triangles.
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Ces triangles comportent un angle droit donc ce sont des triangles rectangles.


4. Rappeler la valeur de la somme des angles d'un triangle.
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La somme des angles dans un triangle vaut 180^o.


5. Donner la valeur de la somme des angles \(\widehat{EFA}\ + \widehat{GFB}\).
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\( \def\arraystretch{1.3} \begin{array}{r c l} \widehat{EFA} + \widehat{FAE} + \widehat{AEF} &=& 180 \\ \widehat{EFA} + 90 + \widehat{GFB} &=& 180 \\ \widehat{EFA} + 90 + \widehat{GFB} -90 &=& 180 -90 \\ \widehat{EFA} + \widehat{GFB} &=& 90^\textrm{o} \\ \end{array} \)


6. En déduire la valeur de l'angle \(\widehat{EFG}\).
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\( \def\arraystretch{1.3} \begin{array}{r c l} \widehat{EFA} + \widehat{EFG} + \widehat{GFB} &=& 180 \\ \widehat{EFG} + 90 &=& 180 \\ \widehat{EFG} + 90 -90 &=& 180 - 90 \\ \widehat{EFG} &=& 90^\textrm{o} \\ \end{array} \)


7. En déduire la nature du quadrilatère EFGH.
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Le quadrilatère EFGH a ses quatre côtés de même longueur et quatre angles droits, il s'agit donc d'un carré.


8. Exprimer l'aire du carré EFGH, notée \(\mathcal{A}_{\scriptsize{EFGH}}\), en fonction de c.
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\(\mathcal{A}_{\scriptsize{EFGH}} = c^2\)


9. Reproduire la figure ci-contre avec AB = 10 cm et a = 3 cm, en colorant les triangle et en effectuant :
   • au triangle EHD une rotation de centre H et d'angle 90^o.
   • au triangle AFE une rotation de centre F et d'angle -90^o.
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10. Exprimer l'aire de la partie qui reste non colorée, notée \(\mathcal{A}_{\scriptsize{reste}}\), en fonction de a et b .
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La partie non colorée est composée de deux carrés, l'un de côté a et l'autre de côté b. On a donc :
\(\mathcal{A}_{\scriptsize{reste}} = a^2 + b^2\)


11. Donner une relation entre \(\mathcal{A}_{\scriptsize{EFGH}}\) et \(\mathcal{A}_{\scriptsize{reste}}\) et en déduire une relation entre a,b et c.
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\( \def\arraystretch{1.3} \begin{array}{r c l} \mathcal{A}_{\scriptsize{EFGH}} &=& \mathcal{A}_{\scriptsize{reste}} \\ c^2 &=& a^2 + b^2 \\ \end{array} \)

Par soustraction d'aires

1. Exprimer l'aire du carré ABCD, notée \(\mathcal{A}_{\scriptsize{ABCD}}\), en fonction de a et b.
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La longueur des côtés du carré ABCD vaut a+b, d'où :
\(\mathcal{A}_{\scriptsize{ABCD}} = (a+b)^2 \)


2. Exprimer l'aire du triangle AFE, notée \(\mathcal{A}_{\scriptsize{triangle}}\), en fonction de a et b.
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\(\mathcal{A}_{\scriptsize{triangle}} = \dfrac{a \times b}{2}\)


3. Exprimer l'aire du carré EFGH, notée \(\mathcal{A}_{\scriptsize{EFGH}}\), en fonction de c.
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\(\mathcal{A}_{\scriptsize{EFGH}} = c^2\)


4. Donner la relation entre \(\mathcal{A}_{\scriptsize{ABCD}}\), \(\mathcal{A}_{\scriptsize{triangle}}\) et \(\mathcal{A}_{\scriptsize{EFGH}}\).
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\(\mathcal{A}_{\scriptsize{ABCD}} = 4\mathcal{A}_{\scriptsize{triangle}} + \mathcal{A}_{\scriptsize{EFGH}}\)


5. Montrer que \(c^2 = a^2 + b^2\).
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\( \def\arraystretch{1.5} \begin{array}{r c l} \mathcal{A}_{\scriptsize{ABCD}} &=& 4\mathcal{A}_{\scriptsize{triangle}} + \mathcal{A}_{\scriptsize{EFGH}} \\ (a+b)^2 &=& 4 \times \dfrac{a \times b}{2} + c^2 \\ (a+b) \times (a+b) &=& 2ab + c^2 \\ a^2 + ab + ba + b^2 &=& 2ab + c^2 \\ a^2 + \cancel{2ab} + b^2 &=& \cancel{2ab} + c^2 \\ a^2 + b^2 &=& c^2 \\ \end{array} \)