Le théorème de Pythagore

Énoncé

Dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés.

Illustration

Le triangle ABC est rectangle en A, donc d'après le théorème de Pythagore :

\(BC^2 = AB^2 + AC^2 \)

Rappel : on appelle hypoténuse le côté opposé à l'angle droit dans un triangle rectangle.
Il s'agit également du côté le plus long.

Exemples

Calcul de la longueur de l'hypoténuse

Le triangle DEF est rectangle en D, donc d'après le théorème de Pythagore :
\( \def\arraystretch{1.3} \def\eg{ & \hspace{-1em} = & \hspace{-1em}} \begin{array}{r c l} EF^2 \eg DE^2 + DF^2 \\ EF^2 \eg 8^2 + 6^2 \\ EF^2 \eg 64 + 36 \\ EF^2 \eg 100 \\ EF \eg \sqrt{100} \\ EF \eg 10 \\ \end{array} \)

Calcul de la longueur d'un côté adjacent à l'angle droit

Le triangle GHI est rectangle en I, donc d'après le théorème de Pythagore :
\( \def\arraystretch{1.3} \def\eg{ & \hspace{-1em} = & \hspace{-1em}} \begin{array}{r c l} GH^2 \eg IG^2 + IH^2 \\ 13^2 \eg 12^2 + IH^2 \\ 169 \eg 144 + IH^2 \\ 169-144 \eg IH^2 \\ 25 \eg IH^2 \\ IH \eg \sqrt{25} \\ IH \eg 5 \\ \end{array} \)

Réciproque

Dans un triangle, si le carré de la longueur d'un côté est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés, alors ce triangle est rectangle.

Illustration

Si \(BC^2 = AB^2 + AC^2 \)
alors le triangle ABC est rectangle en A.

Exemple 1

\( \left. \begin{array}{l} EF^2 = 17^2 = 289 \\ DE^2 + DF^2 = 15^2 + 8^2 = 289 \\ \end{array} \right \} EF^2 = DE^2 + DF^2 \)

donc d'après la réciproque du théorème de Pythagore le triangle DEF est rectangle en D.

Exemple 2

\( \left. \begin{array}{l} HI^2 = 24^2 = 576 \\ GH^2 + GI^2 = 22^2 + 7^2 = 533 \\ \end{array} \right \} HI^2 \neq GH^2 + GI^2 \)

donc d'après le théorème de Pythagore le triangle GHI est n'est pas rectangle.

Le Théorème de Thalès

Énoncé

Soient deux droites (AB) et (AC) sécantes en A et deux points D et E appartenant respectivement aux droites (AB) et (AC).
Si les droites (DE) et (BC) sont parallèles alors :
\[ \frac{AB}{AD} = \frac{AC}{AE} = \frac{BC}{DE} \]

Illustration

Deux configurations de Thalès possibles :

Remarque :

On peut également écrire l'égalité suivante : \( \dfrac{AD}{AB} = \dfrac{AE}{AC} = \dfrac{DE}{BC} \)
Dans la suite du cours et des exercices, nous mettrons toujours la plus grande longueur au numérateur et la plus petite au dénominateur, mais l'inverse est également possible. Il faut juste faire attention de ne pas mélanger les deux façons d'écrire les rapports.

Exemple 1

Les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

\(AB = 2 + 3 = 5 \)

Les droites (BC) et (DE) étant parallèles, d'après le théorème de Thalès :

\( \def\arraystretch{2} \def\eg{ & \hspace{-1em} = & \hspace{-1em}} \begin{array}{rcl} \dfrac{AB}{AD} \eg \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{BC}{DE} \\ \dfrac{5}{2} \eg \dfrac{AC}{4} \\ \end{array} \)
On effectue un produit en croix : \( AC = \dfrac{5 \times 4}{2} = 10 \)
\(EC = AC - AE = 10 - 4 = 6 \)

\( \def\arraystretch{2} \def\eg{ & \hspace{-1em} = & \hspace{-1em}} \begin{array}{rcl} \dfrac{AB}{AD} \eg \dfrac{BC}{DE} \\ \dfrac{5}{2} \eg \dfrac{12}{DE} \\ \end{array} \)
On effectue un produit en croix : \( DE = \dfrac{2 \times 12}{5} = 4,8 \)

Exemple 2

Les droites (PQ) et (RS) sont parallèles.

Les droites (PQ) et (RS) étant parallèles, d'après le théorème de Thalès :

\( \def\arraystretch{2} \def\eg{ & \hspace{-1em} = & \hspace{-1em}} \begin{array}{rcl} \dfrac{OP}{OR} = \dfrac{OQ}{OS} \eg \dfrac{PQ}{RS} \\ \dfrac{OQ}{3} \eg \dfrac{10}{4} \\ \end{array} \)
On effectue un produit en croix : \( OQ = \dfrac{3 \times 10}{4} = 7,5 \)

Réciproque

Si les points A, B et D sont alignés dans le même ordre que les points A, C et E et que \(\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AC}{AE} \) alors les droites (BC) et (ED) sont parallèles.

Illustration

Remarque :

Si l'on démontre que \( \dfrac{AB}{AD}=\dfrac{BC}{DE} \) ou encore que \( \dfrac{AC}{AE}=\dfrac{BC}{DE} \), alors on peut aussi en déduire que les droites (BC) et (ED) sont parallèles.

Exemple 1

\( AB = 12 + 9 = 21 \\ AC = 16 + 12 = 28 \\ \left. \def\arraystretch{2.5} \begin{array}{l} \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{21}{12} = 1,75\\ \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{28}{16} = 1,75 \\ \end{array} \right \} \dfrac{AB}{AD} = \dfrac{AC}{AE} \)
donc d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (BC) et (DE) sont parallèles.

Exemple 2

\( \left. \def\arraystretch{2.5} \begin{array}{l} \dfrac{OQ}{OS} = \dfrac{8}{5} = 4\\ \dfrac{PQ}{RS} = \dfrac{12}{4} = 3 \\ \end{array} \right \} \dfrac{OQ}{OS} \neq \dfrac{PQ}{RS} \)
donc d'après le théorème de Thalès, les droites (PQ) et (RS) ne sont pas parallèles.