Ein Unternehmen verkauft ein von ihm hergestelltes Produkt zum Preis von 1000 €.

Wir bezeichnen mit:

• x die Anzahl der verkauften Produkte in Tausend ;
• e die Einnahmen in Millionen Euro;
• g den Gewinn in Millionen Euro.
• k die Produktionskosten in Millionen Euro. Sie werden mit der folgenden Gleichung berechnet : $k(x)={\displaystyle \frac{2x^2-1003x+161001}{x-1}},x\in ]1;+\infty [$

1. Zeigen Sie, dass $e(x)=x$ (1 Punkt)
2. Zeigen Sie, dass $g(x)={\displaystyle \frac{x^2-1002x+161001}{1-\mathrm{x}}},x\in ]1;+\infty [$ (1 Punkt)
3. Berechnen Sie den Gewinn, wenn 300 000 Produkte verkauft werden. (1 Punkt)
4. Bestimmen Sie den Grenzwert von g, wenn x gegen 1⁺ strebt. Was kann man daraus schließen ? (1 Punkt)
5. Bestimmen Sie den Grenzwert von g, wenn x gegen +∞ strebt. (1 Punkt)
6. Bestimmen Sie das Intervall, in dem die Produktion rentabel ist. (2 Punkte)
7. Bestimmen Sie, bei wie vielen verkauften Produkten der Gewinn maximal ist. Berechnen Sie diesen Gewinn. (2 Punkte)
8. Bestimmen Sie, wie viele Produkte verkauft werden müssen, damit der Gewinn 100 000 000 € beträgt. (2 Punkte)
9. Zeichnen Sie den Funktionsgraphen von g im Intervall ]1;1000]. (2 Punkte)